#2-2. 행렬

행렬 1. 정의 2. 덧셈과 스칼라곱 3. 곱셈 4. 역행렬 5. Zn에서 행렬 연산

 
 

1. 정의

 
행렬
: 몇 개의 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶어서 나타낸 것
 

위 행렬은 2 x 3 행렬이다.
 
- 행이 1인 행렬은 행벡터라고도 부른다
- 열이 1인 행렬은 열벡터라고도 부른다.
 
 
행렬의 대각 성분
: 행번호와 열번호가 같은 성분
 
두 행렬 A와 B가 같다?
: A와 B 모든 대응하는 성분이 같은 값이다.
 
영 행렬 
: 모든 성분이 0인 행렬
 
정사각 행렬
: 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬
 
 
 
 

2. 행렬의 덧셈과 스칼라곱

 
- 행렬의 덧셈
: 두 행렬 A와 B의 행의 개수와 열의 개수가 같을 때만 정의 됨.
: 두 행렬 A와 B의 대응하는 행과 열의 성분끼리 합한 행렬
 
덧셈에 대해서 교환법칙과 결합법칙이 성립된다.
영 행렬은 덧셈에 대한 항등원이며 -A 행렬은 덧셈에 대한 A행렬의 역원이다.
 
 
- 행렬의 스칼라곱
: 어떤 수 C와 행렬 A의 곱
=> 행렬의 각 성분을 c배 하여 구한다.
 
ex)
A = [ 1 2 3 ] 
=> 2A = [ 2 4 6 ]
 
스칼라 곱에서는 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
 
 
 
 

3. 곱셈

 
행렬의 곱셈
행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 일치 할 때 두 행렬의 곱 C = AB가 정의된다.
m x n 행렬 A
n x k 행렬 B
=> m x k 행렬 C
 
C의 i행 j열 성분은 A의 i행과 B의 j열의 성분별 곱을 더한 것
 
 
항등행렬 𝐼𝑛
정사각 행렬에서 대각성분이 1이고 그 외의 성분은 모두 0인 특수한 행렬
 
행렬 A와 항등행렬 𝐼𝑛를 곱하면 A 자신

𝐴𝐼𝑛 = 𝐴

 
 
 
 
 

4. 역행렬

 
정사각 행렬 A와 B에 대해
AB = 𝐼𝑛 를 만족하면 B는 A의 역행렬, A는 B의 역행렬이다.
즉 역행렬은 곱셈에 대한 역원이다.
 
 
 

5. Zn에서 행렬 연산

 
덧셈
 
두 행렬 A와 B의 각 성분이 Zn의 원소
두 행렬 A와 B를 덧셈할 때 mod n 연산으로 덧셈하면 됨
 
ex)
A = [ 1 2 3 ]
B = [ 7 8 9 ]
 
C = A + B = [ 1+7(mod 15)  2+ 8(mod 15)  3 + 9(mod 15) ] = [ 8 9 12 ]
 
 
곱셈
 
두 행렬 A와 B의 각 성분이 Zn의 원소
두 행렬 A와 B를 곱셈할 때 mod n 연산으로 곱셈하면 됨
 
역행렬
mod n연산으로 항등행렬이 되는 행렬을 구하면 됨.